Inzichtelijke wiskunde en trucjes

In de jaren 90 ging het er hard aan toe in de leerplancommissie wiskunde. Twee professoren wilden de regel van drie uit het leerplan schrappen.  Raf Feys wilde de regel behouden. Nu heb ik Raf Feys één keer op een congres bezig gezien en alleen al aan de manier waarop hij naar het podium rende en de katheder vastgreep, wist ik dat je aan hem een geduchte tegenstander of medestander had. De professoren zullen het niet gemakkelijk hebben gehad, maar ze waren met hun tweeën en ze kregen hun zin. De regel van drie werd geschrapt. Toen mijn zoon op de lagere school was, moest hij vraagstukken oplossen met iets wat op de regel van drie leek, maar toch de regel van drie niet was. Het was een veel langer meerstappenplan dat ik niet helemaal begreep.
     Met de regel van drie zelf heb ik trouwens ook altijd last gehad. Vijf voetballen kosten 70 euro. Hoeveel kosten twaalf voetballen. Ik weet dat je twee van die getallen moet vermenigvuldigen en dan delen door het derde, maar welke getallen staan ook al weer in de noemer en welke in de teller? Is het

     Ik geloof dat het een van de twee laatste is. Want ik moet die vijf voetballen ‘herleiden’ tot één voetbal en dat doe ik door die zeventig te delen door vijf, dus moet zeventig in de teller en vijf in de noemer. Dat ‘herleiden tot één’ was een nuttig trucje*.
     Die regel van drie komt mij nog dagelijks van pas als ik de punten van mijn leerlingen moet uitrekenen. Stel: een leerling behaalt dertien punten op een totaal van zestien. Dan is het wat knullig om op het rapport te schrijven: 13/16. Ik wil dat liever uitrekenen op 20. Ook nu weer heb ik een trucje. Ik deel het kleinste cijfer door het grotere cijfer en daarna vermenigvuldig ik met het nieuwe puntentotaal. Het werkt altijd. Dus:

    Welnu, het waren precies die trucjes die de professoren uit het onderwijs weg wilden. De leerlingen moesten door inzichtelijk redeneren zelf een aanpak bedenken om te berekenen hoeveel twaalf voetballen kostten. Maar volgens mij hadden die professoren het fout. Bij mij in elk geval kwam het inzicht pas nadat ik eerst vele keren de trucjes blindelings had toegepast. De meester deed een oefening voor aan het bord. Daar hoorde een uitleg bij, waar ik weinig van begreep. Daarna deden we zelf enkele oefeningen waarin de voetballen vervangen waren door ballonnen of knikkers of chocolade-eieren. We eindigden telkens met eenzelfde geruststellende breuk met eenzelfde geruststellende vermenigvuldiging in de teller.
      Daarna deed de meester weer een oefening voor, met weer ongeveer dezelfde uitleg. En daarna deden wij weer enkele oefeningen. En dan plots, in een flits, begreep ik de uitleg en was daar het inzicht waarom we die drie stappen deden en waarom we moesten herleiden tot één en waarom dat door een deling moest gebeuren enzovoort. Dat inzicht verdween dan weer de volgende dag, en kwam dan weer terug en verdween weer en kwam weer terug. En toen bleef het voorgoed –  hopelijk.
    De discussie die in ons land plaats vond tussen Raf Feys en de professoren, werd in de Verenigde Staten al veel vroeger gevoerd. Tom Lehrer, zelf een wiskundeprofessor, maakte er een vrolijk lied over. Ik geloof  dat Tom aan de kant van Raf staat. Ik beluister het lied wel eens als ik een opkikker nodig heb. Als ik het een poosje niet gehoord heb, moet ik dan hardop lachen. U, beste lezer, kunt het hier beluisteren.


* De omgekeerde regel van drie heb ik maar goed onder controle gekregen toen ik in het middelbaar het trucje leerde van ‘X als onbekende’. Tien mannen graven een waterpunt in vier dagen. Hoeveel dagen hebben acht mannen nodig. Toen ik dat leerde schrijven als 10 x 4 = 8 x X waren mijn problemen opgelost. Want als je die acht nu verplaatst naar het linkerlid van de vergelijking komt ze in de noemer terecht. Ook dat was een handig trucje.

(Dit stukje verscheen ook op De Bron.)